THEORIE DES PSEUDO-MESURES

Une présentation constructive de l’intégrale de Lebesgue

TABLE DES MATIERES




 Première Partie
Intégration sur [a,b]


Chapitre I : Pseudo-mesures, mesures, fonctionnelles sommables sur [a,b]

§ 0.  Notations   1
§ 1.  N-dual d’un espace normé ou semi-normé   2
§ 2.  Pseudo-mesures   5
§ 3.  Fonctionnelles sommables   8
§ 4.  Sommes de Lebesgue   10
§ 5.  Espaces ordonnés. Ordre dans PM   11
§ 6.  Théorème de convergence monotone   13
§ 7.  Valeur absolue d’une pseudo-mesure   15
§ 8.  Mesures et mesures diffuses   19
§ 9.  Convergence fine dans PM   21
§ 10. Suprémum et Infimum généralisés dans PM   24

Chapitre II : Espaces de Riesz

§ 1.  Définitions et propriétés   27
§ 2.  Treillis   31
§ 3.  Sous-espaces d’un espace de Riesz   31
§ 4.  Domaines de Riesz sur un espace de Riesz   32
§ 5.  Espaces semi-normés de Riesz   33
§ 6.  N-dual d’un espace semi-normé de Riesz   34
§ 7.  Quotient d’un espace de (Riesz-) Banach   35
§ 8.  Morphismes et isométries de Riesz   38

Chapitre III : Fonctions positives semi-continues supérieurement sur [a,b]   39

Chapitre IV : Théorème de Lebesgue sur [a,b]

§ 1.  Théorème de Lebesgue dans R   43
§ 2.  Fonctions pseudo-réglées. Théorème de Lebesgue dans PR   45
§ 3.  Fonctions universelles. Théorème de Lebesgue dans W    50
Récapitulatif   54

Chapitre V : Algèbres de Riesz

§ 1.  Algèbres de Riesz   55
§ 2.  Modules de Riesz   58
§ 3.  Algébromodules de Riesz   58

Chapitre VI : Fonctionnelles hilbertiennes, bornées et caractéristiques sur [a,b]

§ 1.  Fonctionnelles hilbertiennes   61
§ 2.  Racine carrée d’une fonctionnelle sommable positive   64
§ 3.  Fonctionnelles bornées   67
§ 4.  Fonctions versus fonctionnelles   69
§ 5.  Fonctionnelles caractéristiques   71
§ 6.  Pseudo-mesures booléennes   74
§ 7.  Support d’une pseudo-mesure   76

Chapitre VII : Théorème de Radon-Nikodym. Compléments

§ 1.  Théorème de Radon-Nikodym   83
§ 2.  Théorèmes divers   85
§ 3.  Mesures atomiques   89
§ 4.  Pseudo-mesures atomiques   91
§ 5.  Mesures de Radon sur [a,b]   92
Récapitulatif   94

Chapitre VIII : Primitives, différentielles, dérivées

§ 1.  Fonctions continues à variation bornée   95
§ 2.  Sommes de Riemann-Stieltjes   97
§ 3.  Formules classiques   98

Chapitre IX : Changement de variable

§ 1.  Fonctions réglées   101
§ 2.  Fonctionnelles sommables   102

Chapitre X : Indicateurs et modes de convergence dans  L1

§ 1.  Indicateurs   107
§ 2.  Convergence en mesure   110
§ 3.  Convergence presque partout   114
§ 4.  Dérivée de la primitive d’une fonctionnelle sommable   116
§ 5.  Convergence plate   119
§ 6.  Convergence exacte   119
Récapitulatif   121

Chapitre XI : Fonctionnelles sur [a,b]

§ 1.  Suites Cauchy-exactes dans B   123
§ 2.  Supports et indicateurs   125
§ 3.  Fonctionnelles   128
Récapitulatif   129
§ 4.  Modes de convergence dans FO   129
A.  Convergence en mesure   130
B.  Convergence presque partout   134
C.  Convergence plate   138
D.  Convergence exacte   139
          § 5.  Equations linéaires dans FO   140

Annexe : Parties totalement bornées de  L1  


Deuxième Partie
Intégration sur  
R


§ 0.  Notations   143
§ 1.  Pseudo-mesures et mesures   144
§ 2.  Pseudo-mesures paires et impaires   147
§ 3.  Fonctionnelles localement sommables   148
§ 4.  Fonctionnelles localement hilbertiennes   149
§ 5.  Fonctionnelles localement bornées   150
§ 6.  Fonctionnelles caractéristiques   152
Récapitulatif   153

Chapitre XIII : Théorèmes classiques

A.  Théorème de Lebesgue   153
B.  Théorème de continuité   153
C.  Théorème de Dieudonné   154
D.  Théorème d’holomorphie   155

Chapitre XIV : Convergence faible et convergence fidèle   157


Troisième Partie
Intégration sur un rectangle compact de 
R2



§ 1.  Espaces fondamentaux   159
§ 2.  Produit tensoriel de fonctions   161
§ 3.  Pseudo-mesures marginales   162
§ 4.  Produit tensoriel de pseudo-mesures   164
§ 5.  Points de Lebesgue   166
§ 6.  Théorème de Fubini   168
§ 7.  Généralisation à   R2  170
§ 8.  Généralisation à   Rn  173
Récapitulatif   173

Chapitre XVI : Applications

§ 1.  Dérivation des primitives   175
§ 2.  Convolution sur  R   177
§ 3.  Convolution sur   R+  178
§ 4.  Transformée de Laplace   179
§ 5.  Théorème de Titchmarsh   180
§ 6.  Transformée réelle de Fourier   182
§ 7.  Transformée complexe de Fourier   187
§ 8.  Inégalité de Jensen   189


Quatrième Partie
Espaces associés à une mesure normée positive sur  
Rn




§ 1.  Mesures normées de base μ   191
§ 2.  μ-fonctionnelles sommables   192
§ 3.  μ-fonctionnelles hilbertiennes   195
§ 4.  μ-fonctionnelles bornées   196
§ 5.  μ-fonctionnelles caractéristiques   198
§ 6.  μ-support   198
§ 7.  Théorème de Radon-Nikodym   199
§ 8.  Indicateurs   199
§ 9.  μ-fonctionnelles   201
Récapitulatif   201

§ 10. Composée d’une μ-fonctionnelle et d’une fonction réglée   201
§ 11. Composée d’une μ-fonctionnelle sommable et d’une fonction lipschitzienne   203

Chapitre XVIII : Image d’une mesure normée positive

§ 1.  Image d’une mesure normée positive μ par une μ-fonctionnelle   205
§ 2.  Convergences en loi faible et en loi forte   206
Récapitulatif   209
§ 3.  Composée d’une μ-fonctionnelle F et d’une μF-fonctionnelle   209
§ 4.  Généralisation aux μ-polyfonctionnelles   211

Chapitre XIX : Conditionnement d’une μ-fonctionnelle sommable   213


Cinquième Partie
Intégration sur  
Zp

Chapitre XX : Mesures et fonctionnelles sur  Zp  

§ 1.  Définitions et notations   217
§ 2.  Intégrale de Haar des fonctions continues sur  Zp   218
§ 3.  Espaces fondamentaux   221
Récapitulatif   223
§ 4.  Moyenne d’une mesure sur une boule   223

Chapitre XXI : Séries de Fourier sur  Zp

§ 1.  Caractères de  Zp   225
§ 2.  Séries de Fourier sur  Zp   226
§ 3.  Exemples de séries de Fourier sur   Zp   229

Chapitre XXII : Convolution sur  Zp   239


Sixième Partie
Intégration sur les espaces de suites


Chapitre XXIII : Espaces de suites

§ 1.  Les espaces  Ω   243
§ 2.  L’espace  R   246
§ 3.  Compacts élémentaires de  R   250
§ 4.  Espaces associés à une mesure normée positive sur  R   256

Chapitre XXIV : Probabilités

§ 1.  Vocabulaire des probabilités   259
§ 2.  Applications   260