THEORIE DES PSEUDO-MESURES Une présentation constructive de l’intégrale de Lebesgue TABLE DES MATIERES Première
Partie
Intégration sur [a,b] §
0. Notations
1
Chapitre
II : Espaces de Riesz§ 1. N-dual d’un espace normé ou semi-normé 2 § 2. Pseudo-mesures 5 § 3. Fonctionnelles sommables 8 § 4. Sommes de Lebesgue 10 § 5. Espaces ordonnés. Ordre dans PM 11 § 6. Théorème de convergence monotone 13 § 7. Valeur absolue d’une pseudo-mesure 15 § 8. Mesures et mesures diffuses 19 § 9. Convergence fine dans PM 21 § 10. Suprémum et Infimum généralisés dans PM 24 §
1. Définitions et
propriétés 27
§ 2. Treillis 31 § 3. Sous-espaces d’un espace de Riesz 31 § 4. Domaines de Riesz sur un espace de Riesz 32 § 5. Espaces semi-normés de Riesz 33 § 6. N-dual d’un espace semi-normé de Riesz 34 § 7. Quotient d’un espace de (Riesz-) Banach 35 § 8. Morphismes et isométries de Riesz 38 Chapitre III : Fonctions positives semi-continues supérieurement sur [a,b] 39 Chapitre IV : Théorème de Lebesgue sur [a,b] §
1. Théorème de
Lebesgue dans R 43
§ 2. Fonctions pseudo-réglées. Théorème de Lebesgue dans PR 45 § 3. Fonctions universelles. Théorème de Lebesgue dans W 50 Récapitulatif
54
§
1. Algèbres de Riesz 55
Chapitre
VI :
Fonctionnelles
hilbertiennes, bornées et caractéristiques sur
[a,b]§ 2. Modules de Riesz 58 § 3. Algébromodules de Riesz 58 §
1. Fonctionnelles hilbertiennes 61
Chapitre
VII : Théorème
de Radon-Nikodym. Compléments§ 2. Racine carrée d’une fonctionnelle sommable positive 64 § 3. Fonctionnelles bornées 67 § 4. Fonctions versus fonctionnelles 69 § 5. Fonctionnelles caractéristiques 71 § 6. Pseudo-mesures booléennes 74 § 7. Support d’une pseudo-mesure 76 §
1. Théorème de Radon-Nikodym
83
§ 2. Théorèmes divers 85 § 3. Mesures atomiques 89 § 4. Pseudo-mesures atomiques 91 § 5. Mesures de Radon sur [a,b] 92 Récapitulatif
94
Chapitre VIII : Primitives, différentielles, dérivées §
1. Fonctions continues à variation
bornée 95
Chapitre
IX : Changement de variable§ 2. Sommes de Riemann-Stieltjes 97 § 3. Formules classiques 98 §
1. Fonctions réglées 101
Chapitre X :
Indicateurs et modes de
convergence dans L1§ 2. Fonctionnelles sommables 102 §
1. Indicateurs 107
§
2. Convergence en mesure 110
§ 3. Convergence presque partout 114 § 4. Dérivée de la primitive d’une fonctionnelle sommable 116 § 5. Convergence plate 119 § 6. Convergence exacte 119 Récapitulatif 121
§
1. Suites Cauchy-exactes dans B 123
§
2. Supports et indicateurs 125
§ 3. Fonctionnelles 128 Récapitulatif 129
§
4. Modes de convergence dans FO 129
A.
Convergence en mesure 130
§ 5.
Equations linéaires dans FO 140B. Convergence presque partout 134 C. Convergence plate 138 D. Convergence exacte 139 Annexe : Parties totalement bornées de L1 §
0. Notations 143
Chapitre
XIII : Théorèmes
classiques§ 1. Pseudo-mesures et mesures 144 § 2. Pseudo-mesures paires et impaires 147 § 3. Fonctionnelles localement sommables 148 § 4. Fonctionnelles localement hilbertiennes 149 § 5. Fonctionnelles localement bornées 150 § 6. Fonctionnelles caractéristiques 152 Récapitulatif 153
A.
Théorème de Lebesgue 153
Chapitre
XIV : Convergence faible et
convergence fidèle 157B. Théorème de continuité 153 C. Théorème de Dieudonné 154 D. Théorème d’holomorphie 155 Troisième
Partie
Intégration sur un rectangle compact de R2 Chapitre
XV : Fonctions et pseudo-mesures
sur un rectangle compact
§
1. Espaces fondamentaux 159
§ 2. Produit tensoriel de fonctions 161 § 3. Pseudo-mesures marginales 162 § 4. Produit tensoriel de pseudo-mesures 164 § 5. Points de Lebesgue 166 § 6. Théorème de Fubini 168 §
7. Généralisation
à
R2 170
Chapitre
XVI : Applications§ 8. Généralisation à Rn 173 Récapitulatif 173
§
1. Dérivation des primitives 175
§ 2. Convolution sur R 177 § 3. Convolution sur R+ 178 § 4. Transformée de Laplace 179 § 5. Théorème de Titchmarsh 180 § 6. Transformée réelle de Fourier 182 § 7. Transformée complexe de Fourier 187 § 8. Inégalité de Jensen 189 Quatrième
Partie
Espaces associés à une mesure normée positive sur Rn §
1. Mesures normées de base μ 191
§ 2. μ-fonctionnelles sommables 192 § 3. μ-fonctionnelles hilbertiennes 195 § 4. μ-fonctionnelles bornées 196 § 5. μ-fonctionnelles caractéristiques 198 § 6. μ-support 198 § 7. Théorème de Radon-Nikodym 199 § 8. Indicateurs 199 § 9. μ-fonctionnelles 201 Récapitulatif
201
§
10. Composée d’une μ-fonctionnelle
et d’une fonction réglée 201
§ 11. Composée d’une μ-fonctionnelle sommable et d’une fonction lipschitzienne 203 Chapitre XVIII : Image d’une mesure normée positive §
1. Image d’une mesure normée
positive μ
par une μ-fonctionnelle
205
Chapitre
XIX : Conditionnement
d’une μ-fonctionnelle sommable
213§ 2. Convergences en loi faible et en loi forte 206 Récapitulatif 209
§
3. Composée d’une μ-fonctionnelle
F et
d’une μF-fonctionnelle
209§ 4. Généralisation aux μ-polyfonctionnelles 211 Cinquième
Partie
Chapitre
XX : Mesures et fonctionnelles sur
Zp
Intégration sur Zp §
1. Définitions et notations 217
§ 2. Intégrale de Haar des fonctions continues sur Zp 218 § 3. Espaces fondamentaux 221 Récapitulatif 223
§
4. Moyenne d’une mesure sur une boule 223§
1. Caractères de
Zp 225
Chapitre
XXII : Convolution sur Zp
239§ 2. Séries de Fourier sur Zp 226 § 3. Exemples de séries de Fourier sur Zp 229 Sixième
Partie
Chapitre
XXIII : Espaces de suitesIntégration sur les espaces de suites §
1. Les espaces Ω
243
§ 2. L’espace R∞ 246 §
3. Compacts élémentaires de R∞ 250
§
4. Espaces associés à une mesure
normée positive sur R∞ 256
Chapitre
XXIV : Probabilités§
1. Vocabulaire des probabilités 259
§ 2. Applications 261 |