Contrairement aux présentations traditionnelles de l'intégrale de Lebesgue, qui nécessitent des raisonnements délicats sur des objets malaisés (boréliens, ensembles de mesure nulle, etc...), nous proposons une construction de nature différente, élaborée à partir de concepts plus significatifs et plus performants. Les objets de base de notre théorie sont les pseudo-mesures, c'est-à-dire les formes linéaires normées sur l’espace vectoriel des fonctions étagées (muni de la norme uniforme). Cette présentation inédite permet de définir les concepts fondamentaux avec une absolue clarté, d'aboutir rapidement à des théorèmes substantiels et d'unifier les traitements, habituellement séparés, des mesures et des fonctions sommables/mesurables. Nous utilisons pour cadre général les espaces de Riesz, c'est-à-dire les espaces vectoriels ordonnés possédant une valeur absolue (à valeurs dans l'ensemble des éléments positifs de l'espace).

  Intégrale de Lebesgue, Pseudo-mesure, Mesure, Fonctionnelle, Espace de Banach, Espace de Riesz, Probabilités

ABSTRACT

   Contrary to the traditional presentations of the Lebesgue integral, that require delicate reasonings about awkward objects (null sets, Borel sets, etc...), we propose a construction of a different nature, elaborated out of more meaningful and effective concepts. The basic objects of our theory are the pseudo-measures, viz. the normed linear forms on the vector space of the step functions (with the sup norm). This novel presentation allows us to define the fundamental concepts with absolute clarity, to come rapidly to substantial theorems and to unify the usually separated treatments of measures and summable/measurable functions. As a general setting we use the Riesz spaces, which are the ordered vector spaces possessing an absolute value (with values in the set of positive elements of the space).